Hauptmaximum

Hauptmaximum bezeichnet in der Mathematik den größten Funktionswert, den eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich annimmt. Das zugehörige Argument x*, so dass f(x*) das Maximum erreicht, wird als Ort des Hauptmaximums bezeichnet; der Wert f(x*) nennt sich das Hauptmaximumwert. Die Menge der Maximierer besteht aus allen x mit f(x) = f(x*).

Unterscheidung: Ein Lokalmaximum ist eine Stelle, an der f(x0) größer oder gleich den Funktionswerten in einer Umgebung von x0 ist; das Hauptmaximum ist das globale Maximum über den gesamten Definitionsbereich. Sind mehrere Stellen vorhanden, an denen denselbe Höchstwert erreicht wird, besitzt die Funktion mehrere Hauptmaxima.

Existenz und Eigenschaften: Wenn der Definitionsbereich kompakt ist (abgeschlossen und beschränkt) und die Funktion stetig ist, nimmt f auf diesem Bereich ein Hauptmaximum an, gemäß dem Satz über das Extremwert. Ohne solche Bedingungen kann ein Hauptmaximum fehlen, zum Beispiel bei unbeschränkten oder offenen Bereichen. In der Praxis bestimmt man Maximierer oft durch Ableitungen (kritische Punkte) und Randwerte.

Beispiele: Die Funktion f(x) = -(x-1)^2 hat über ganz R ein globales Maximum bei x = 1 mit dem Wert 0. Auf dem Intervall D = [0, 2] ist ebenfalls x = 1 ein Maximierer. Solche Konzepte treten in Optimierungsproblemen auf, in denen es um die bestmögliche Nutzenfunktion, Energie, Wahrscheinlichkeit oder andere Größen geht.

Terminologie: In modernen deutschsprachigen Texten wird häufiger von globalem Maximum oder Extremwert gesprochen; der Begriff Hauptmaximum kommt überwiegend in älterer Literatur vor. In der Praxis ist globales Maximum die gängigere Bezeichnung.