Hauptmaximums

Hauptmaximum ist ein Begriff aus der Mathematik, der den globalen Maximumwert einer Funktion über ihren Definitionsbereich bezeichnet. Die Mehrzahl wird üblicherweise als Hauptmaxima oder seltener als Hauptmaximume verwendet; die Form Hauptmaximums tritt in der deutschen Fachsprache weniger häufig auf, kann aber in älteren Texten vorkommen.

Formal betrachtet sei f eine Funktion mit Definitionsbereich D und Wertebereich R. Ein Punkt x0 in D ist ein globales Maximum (Hauptmaximum) von f auf D, falls f(x0) ≥ f(x) für alle x in D gilt. Der zugehörige Maximumwert M = f(x0) wird als Hauptmaximumwert bezeichnet. Die Existenz eines globalen Maximums hängt von D und f ab: Ist D kompakt und ist f stetig, garantiert der Extremwertsatz ein globales Maximum. Ohne diese Voraussetzungen kann es weder eine maximale noch eine maximale Stelle geben.

Das Hauptmaximum unterscheidet sich vom lokalen Maximum. Ein Punkt x0 ist dann ein lokales Maximum, wenn es in einer Umgebung von x0 gilt, dass f(x0) ≥ f(x), während für ein globales Maximum die Ungleichung für alle x in D gelten muss.

Beispiele verdeutlichen die Konzepte. Die Funktion f(x) = -x^2 + 4 hat auf ganz R ein globales Maximum bei x = 0 mit dem Wert 4. Die Funktion f(x) = x auf R besitzt kein globales Maximum, da f unbegrenzt wächst. Auf dem kompakten Intervall [-2, 2] hat z. B. f(x) = -(x-1)^2 + 2 ein globales Maximum bei x = 1 mit Wert 2.

In der Praxis wird der Begriff im Kontext globaler Optimierung verwendet, um die maximale Ausprägung einer Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich zu bestimmen.