Großkreisdistanz

Großkreisdistanz bezeichnet auf einer Kugel die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten, die auf der Oberfläche verlaufen und durch den Großkreis verbunden sind. Ein Großkreis ist der Schnitt der Kugel mit einer Ebene, die durch ihren Mittelpunkt geht. Die Großkreisdistanz entspricht dem Bogenlänge des Großkreises zwischen den beiden Punkten und ist somit die kurze Wegstrecke auf der Oberfläche.

Für zwei Punkte mit Breite φ1, φ2 und Länge λ1, λ2 sowie Δλ = λ2 − λ1 ergibt sich der Zentralwinkel Δσ zwischen ihnen durch die Kosinusregel des sphärischen Dreiecks: cos Δσ = sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ. Die Großkreisdistanz ist dann d = R · Δσ, wobei R der Radius der Kugel ist. Zur numerischen Berechnung empfiehlt sich die haversine-Formel, die stabiler bei kleinen Winkeln arbeitet: hav(Δσ) = hav(Δφ) + cos φ1 cos φ2 hav(Δλ), wobei Δφ = φ2 − φ1 und hav(θ) = sin²(θ/2). Anschließend gilt d = 2R arcsin(√ hav(Δσ) ).

Für die Erde wird häufig der mittlere Erdradius R ≈ 6371 Kilometer verwendet. Die Großkreisdistanz ist in Navigation, Luftfahrt, Seefahrt und der geografischen Informationsverarbeitung eine zentrale Größe, da sie den idealen Oberflächenweg beschreibt. Da die Erde keine perfekte Kugel ist, weicht die tatsächliche Geodäsie bei längeren Strecken leicht ab; hier spricht man von geodätischen Entfernungen auf einem Ellipsoid (Vincenty-Formeln oder ähnliche Verfahren).