Kosinusregel

Der Kosinusregel, auch Satz von Kosinus genannt, ist eine grundlegende Beziehung in der euklidischen Geometrie, die die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem eingeschlossenen Winkel verknüpft. Er bildet eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras und gilt für jedes nichtdegenerierte Dreieck.

Für ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln A, B, C gilt: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(C). Entsprechend lauten die übrigen Formen: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos(A) und b^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos(B).

Der Kosinusregel ermöglicht es, eine Seite zu berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, oder den Winkel, wenn alle drei Seiten bekannt sind. Im Fall eines rechten Dreiecks wird cos(C) = 0, und die Gleichung reduziert sich auf den Satz des Pythagoras.

Begründung: Der Satz folgt aus der Projektion der Seiten auf die Richtung des eingeschlossenen Winkels oder aus einem Parallelogramm- bzw. Vektorbeweis; er gilt in der Ebene der euklidischen Geometrie. In anderen Geometrietypen, wie der sphärischen oder hyperbolischen Geometrie, hat er abgewandelte Formen.

Beispiel: Gegeben a = 5, b = 7 und C = 60°. Dann c^2 = 5^2 + 7^2 − 2·5·7·cos(60°) = 25 + 49 − 70·0,5 = 39, hence c ≈ 6,24.