Grenzschichttheorie

Grenzschichttheorie ist die Theorie der dünnen Schicht einer Flüssigkeit oder eines Gases, die sich unmittelbar an einer festen Oberfläche befindet. In dieser Grenzschicht sind die viscösen (reibungsbedingten) Kräfte maßgeblich, während das Strömungsfeld außerhalb der Schicht oft als inkompressible, ideale bzw. potentialisierte Strömung betrachtet wird. Ziel der Theorie ist es, die Strömung in der Nähe von Oberflächen zu beschreiben, wo Wandreibung, Wärme- und Massentransport auftreten.

Geschichte und Grundlagen: Die Grenzschichttheorie wurde maßgeblich von Ludwig Prandtl im Jahr 1904 eingeführt. Sie trennt das Verhalten nahe der Wand von dem weiter außen liegenden Strömungsgebiet. Innerhalb der Grenzschicht wird der Navier–Stokes-Gleichungssystem vereinfacht, indem angenommen wird, dass der Strömungsgradient senkrecht zur Oberfläche klein ist und der Druck in der Grenzschicht annähernd dem äußeren, inviskiden Druck entspricht.

Gleichungen und Randbedingungen: Die von Prandtl hergeleiteten Grenzschichtgleichungen (für eine glatte, ungestörte, inkompressible Flüssigkeit) lauten in Koordinaten tangential x und normal y: u ∂u/∂x + v ∂u/∂y = - (1/ρ) ∂p/∂x + ν ∂²u/∂y², ergänzt durch ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0. Die Randbedingungen sind: an der Wand u = v = 0, y = 0; für y → ∞ nähert sich u dem äußeren Geschwindigkeitsprofil U(x) an.

Typen und Lösungen: Eine klassische Lösung ist die Blasius-Lösung für laminare Strömung über eine glatte Platte, die eine similiaritätsbasierte Geschwindigkeitsverteilung liefert. Die Grenzschichtdicke wächst entlang x; der Re_x bestimmt die Wandreibung, mit Cf ≈ 0,664/Re_x^1/2 für laminare Grenzschicht auf einer Platte.

Anwendungen und Grenzen: Grenzschichttheorie wird zur Berechnung von Druckverlusten, Wandtemperaturen, Wärme- und Massentransport sowie zur Aerodynamik von Flügeln verwendet. Einschränkungen bestehen für unsteady, turbulente oder kompressible Strömungen; Turbulenzmodelle (z. B. Mischlängenkonzeption) und Erweiterungen für kompressible Grenzschichten ergänzen die Theorie.