GrenzschichtGleichungen

Grenzschichtgleichungen, meist als Prandtl-Grenzschichtgleichungen bezeichnet, sind eine Näherung der Navier–Stokes-Gleichungen zur Beschreibung des Strömungsverhaltens in der Nähe fester Wandflächen. Sie gelten bei hohen Reynolds-Zahlen, wenn die Grenzschicht dünn ist und außerhalb der Schicht eine äußere, nahezu inviscide Strömung annimmt.

Wesentliche Annahmen sind eine zweidimensionale, unsteady oder steady Strömung mit Tangentialkomponente u und Normalkomponente v zur Wand, Druck in y-Richtung vernachlässigbar, und Randbedingungen: u = 0 und v = 0 an der Wand; u → Ue(x,t) und p → pe(x,t) außerhalb der Grenzschicht.

Für inkompressible Newtonsche Flüssigkeiten lauten die Grundgleichungen: Kontinuitätsgleichung ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0; x-Momentum: ∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y = - (1/ρ) ∂p/∂x + ν ∂^2 u/∂y^2; y-Momentum reduziert durch ∂p/∂y ≈ 0. Der Druck in der Grenzschicht entspricht dem äußeren Druck pe(x,t).

Für laminare Strömungen über einer glatten Platte liefert Blasius eine Ähnlichkeitslösung; die Falkner–Skan-Klasse erfasst Druckgradienten. Turbulente Grenzschichten erfordern zusätzliche Modelle (Turbulenztransport, Mixing-Length). Erweiterungen umfassen kompressible Grenzschichten (Dichtevariationen) und Wärmetransfer durch die Energiegleichung; oft wird Morkovin’sche Hypothese genutzt.

Sie sind grundlegend in der Aerodynamik, bei der Berechnung von Hautreibung, Widerstand und Wärmeübertragung in der Grenzschicht. Die Grenzschichtdicke wächst typischerweise wie die Wurzel aus der Distanz x zur Wand: δ ∼ sqrt(ν x / Ue). Numerisch werden die Gleichungen oft mit Finite-Differenzen- oder Finite-Volumen-Verfahren gelöst und mit der äußeren Strömung abgeglichen.