Greenfunktioner

Greenfunktioner är kärnor G(x, x') som används för att lösa linjära differentialekvationer L u(x) = f(x) under givna randvillkor. För en given operator L definierar man Greenfunktionen genom L_x G(x, x') = δ(x - x') där δ är Dirac-delta och med motsvarande randvillkor i x. Lösningen till problemet kan då skrivas som u(x) = ∫ G(x, x') f(x') dx' plus eventuella bidrag från randvillkoren, beroende på problemets natur.

I tidsoberoende problem fungerar Greenfunktionen som inversen till L och representerar svaret på en punktkälla. I tidsberoende problem används två-argumentiga Greenfunktioner G(t, x; t', x') som uppfyller L_{t,x} G = δ(t - t') δ(x - x') och ofta en retarded eller advanced version för att uppfylla kausalitet.

Egenskaper: Om L är självadjungerad med homogena randvillkor är G ofta symmetrisk: G(x, x') = G(x', x). Denna egenskap underlättar beräkningar och kopplar till spektralteorin via resolventen. Greenfunktioner möjliggör även konstruktion av lösningar i komplexa geometrier genom olika representationssätt.

Konstruktion: gröjningar görs via fundamental lösning, metod av bilder, egenvärdesexpansion, Fourier- eller Laplace-transformer beroende på domänen och randvillkor. Ofta väljer man den retarderade Greenfunktionen i tidsberoende problem för att bevara orsakssamband.

Exempel: för Laplacian i intervallet [0, L] med Dirichlet-randvillkor är G(x, x') = min(x, x') (L - max(x, x')) / L. Lösningen blir då u(x) = ∫_0^L G(x, x') f(x') dx'.

Användningsområden inkluderar elektrostatik, akustik, diffusions- och vågekvationen samt kvantmekanikens propagatorer.