spektralteorin

Spektralteori er en gren av funksjonell analyse som studerer spekteret til lineære operatører og matriser og hvordan dette spekteret kan gi innsikt i operatørens oppførsel. Spekteret består av de verdier som oppfattes som “egne frekvenser” eller resonanser for en operatør, og inkluderer ofte informasjon som ikke er synlig i selve matrisen eller operatoren.

For en lineær operator på et Hilbert-rom består spekteret av punkter i det komplekse tallplan som ikke er invertible på en bestemt måte. Spekteret deles ofte inn i punkt-spekter (egneverdier), kontinuerlig spekter og rest-spekter. Spesielt har selvadjoint teoretisk klare egenskaper: spekteret ligger på den sanne linjen, og operatoren kan gjenoppbygges fra sitt spektrum ved hjelp av en projeksjonsmåte.

Det sentrale resultatet er spektralteoremet. For selvadjointe operatører A på et Hilbert-rom finnes det et projeksjonsmål E slik at A kan uttrykkes som en integrasjon A = ∫ λ dE(λ) over spekteret. Dette gjør det mulig å definere funksjonskalkulus av A, f(A) = ∫ f(λ) dE(λ). En tilsvarende form gjelder for enhetlige og normal-operatører, hvor spekteret ligger på enhets(sirkelen) i komplekse planet. For kompakte operatører består ikke-null-spekteret av egenverdier med endelig multiplicitet som tømmer seg mot null.

Spektralteori har bred anvendelse, blant annet innen kvantemekanikk (observabler representeres av selvadjoint-operatorer), løsninger av differensiallikninger, signalbehandling og numerisk lineær algebra. Historisk oppstod grunnlaget tidlig på 20. århundre med arbeider innen funksjonell analyse og C*-teori, og fortsetter å være et aktivt forskningstema, inkludert perturbasjonsteori og spektral analyse av ikke-selvadjente operatører.