differensiallikninger

En differensiallikning er en ligning som involverer en ukjent funksjon og dens deriverte, og som beskriver hvordan funksjonen endrer seg. Slike likninger brukes for å modellere dynamiske systemer i natur, ingeniørfag og samfunnsvitenskap, der forhold mellom endringene til en størrelse og størrelsen selv reflekteres.

Differensiallikninger deles ofte etter antall variabler og etter orden. Ordinære differensiallikninger (ODE) involverer en funksjon av en enkelt variabel og dens avledede. Partielle differensiallikninger (PDE) involverer ukjente funksjoner av flere variabler og partielle deriverte. Etter orden kan likningene være første-, andre- eller høyere ordens. Linearitet skiller også mellom lineære og ikke-lineære forhold, og mellom homogene og ikke-homogene likninger basert på kildeleddet i likningen.

Løsningene til differensiallikninger avhenger av betingelsene som følger med problemet. Initialbetingelser (IVP) angir verdier av funksjonen og/eller dens derivert ved et startpunkt, mens randbetingelser (BVP) spesifiseres på grenser av domainet. Noen likninger har eksplisitte analytiske løsninger, mens andre må løses numerisk.

Eksempler: En førsteordens lineær ODE som dy/dx + p(x) y = q(x) kan løses ved integrating factor. En andreordens ODE som y'' + p y' + q y = g(x) oppgir ofte en kombinasjon av homogent løsningsbidrag og en partikulær løsning. PDE-eksempler inkluderer bølgelikningen ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x² og varmeledningslikningen ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x².

Metoder til løsning inkluderer analoge teknikker som separasjon av variabler og integrating factor for ODE-er, samt numeriske metoder som Euler- og Runge–Kutta for ODE-er og finite difference eller finite element for PDE-er når eksakt løsning ikke finnes.