Gleichgewichtslösungen

Gleichgewichtslösungen bezeichnen Zustände eines dynamischen Systems, bei denen sich der Zustand nicht ändert. In autonomen Systemen der Form x' = f(x) in R^n erfüllt ein Gleichgewichtspunkt x* die Bedingung f(x*) = 0. In diskreten Systemen der Form x_{t+1} = g(x_t) gilt für x*, dass g(x*) = x*. Gleichgewichtslösungen entsprechen festen Punkten des Systems und markieren potenzielle Ruhezustände.

Bestimmung: Gleichgewichtslösungen erhält man durch das Lösen der algebraischen Gleichung f(x) = 0 (kontinuierlich) bzw. g(x) = x (diskret). Abhängig von Parametern können mehrere Gleichgewichte auftreten; deren Lage und Stabilität müssen oft durch analytische oder numerische Verfahren bestimmt werden.

Stabilität: Die Stabilität beschreibt das langfristige Verhalten von Zuständen in der Nähe eines Gleichgewichts. Für stetige Systeme x' = f(x) gilt: Ist x* ein Gleichgewichtspunkt mit der Jacobian-Matrix J = Df(x*), dann ist x* asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte von J einen negativen Realteil haben. Mindestens ein Eigenwert mit positivem Realteil führt zur Instabilität. Für Diskret-Systeme gilt: Ist die lineare Approximation um x* durch J funktionalisiert, dann ist x* asymptotisch stabil, wenn alle Beträge der Eigenwerte von J kleiner als 1 sind. Hyperbolische Gleichgewichte (keine Eigenwerte mit Realteil 0 bzw. Betrag 1) lassen sich oft durch die lineare Approximation beschreiben (Hartman-Grobman-Theorem).

Beispiele: Die logistische Gleichung x' = r x (1 − x/K) besitzt Gleichgewichte x* = 0 und x* = K. Für r > 0 ist 0 instabil und K stabil; bei r < 0 kehren sich die Stabilitäten um. In linearen Systemen x' = Ax liegt das Gleichgewicht bei x = 0 vor; seine Stabilität folgt aus den Eigenwerten von A.

Bedeutung: Gleichgewichtslösungen liefern Einblick in mögliche Ruhezustände, dienen als Ausgangspunkt für Stabilitäts- und Bifurkationsanalysen in Physik, Biologie, Chemie und Ingenieurwesen.