Gleichflächen

Gleichflächen ist ein Begriff, der in der deutschen Fachsprache je nach Kontext unterschiedliche Bedeutungen haben kann. Allgemein wird damit der Zusammenhang von Flächen beschrieben, die in einem bestimmten Sinn gleich groß sind oder deren Fläche unter einer Abbildung erhalten bleibt. In der Mathematik ist Gleichflächen kein standardisierter Fachausdruck, sondern eine Bezeichnung, die in Texten vorkommen kann, die Flächen vergleichen oder Abbildungen untersuchen, die Flächeninhalte bewahren.

Im formalen Sinn bedeutet die Gleichheit von Flächen zweier glatter Flächen S1 und S2 in R^3, dass ihr Flächeninhalt gleich ist: Fläche(S1) = Fläche(S2). Der Flächeninhalt wird durch das Flächenelement dS in der Oberflächenintegration beschrieben. Eine Abbildung f, die Flächeninhalte erhält, heißt flächeninhaltsbewahrend oder flächenständig. Dann gilt für Teilflächen A ⊆ S: Fläche(f(A)) = Fläche(A).

Anwendungen finden sich in verschiedenen Bereichen. In der Computergrafik werden flächeninhaltsbewahrende Parametrisierungen genutzt, um Texturen gleichmäßig zu verteilen und Verzerrungen zu minimieren. In der Kartografie kommt der Begriff im Zusammenhang mit Gleichflächenprojektionen vor, bei denen Flächenverhältnisse unverändert bleiben, damit reale Größenverhältnisse kartografisch korrekt wiedergegeben werden. Auch in der Geometrie und in tiling- bzw. partitionierungsbezogenen Fragestellungen spielt das Konzept eine Rolle, etwa wenn man Flächen innerhalb eines Systems gleichmäßig verteilen möchte.

Siehe auch: Flächenmaß, Flächeninvarianz, flächeninhaltsbewahrende Abbildung, Gleichflächenprojektion, Gleichverteilung von Flächen. Hinweise zu unterschiedlichen usages des Begriffs variieren je nach Fachgebiet und Autor.