Gittervektor

Gittervektor bezieht sich in der Kristallographie und Festkörperphysik auf jeden Vektor, der zwei Gitterpunkte eines regelmäßigen Gitters L verbindet. Ein Bravais-Gitter L lässt sich als Menge aller Punkte schreiben, die sich als ganzzahlige Linearkombination der drei primitiven Gittervektoren a1, a2, a3 darstellen lassen: R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 mit n1, n2, n3 ∈ Z. Die Vektoren a1, a2, a3 heißen primitive Gittervektoren und bilden eine Erzeugersystem des Gitters.

Eigenschaften: Gittervektoren bilden eine diskrete Untergruppe des Vektorraums R^3; das Gitter bleibt unverändert unter Translationen durch jeden Gittervektor. Gleichzeitig kann das Gitter durch verschiedene Mengen von primitiven Vektoren beschrieben werden, solange diese eine Basis des Raums liefern. Die Wahl der primitive Vektoren ist nicht eindeutig; unterschiedliche Sätze erzeugen denselben Gitterpunktensatz.

Beispiel: Für ein einfaches kubisches Gitter seien a1 = (a, 0, 0), a2 = (0, a, 0) und a3 = (0, 0, a). Dann ergibt sich jeder Gittervektor als R = (n1 a, n2 a, n3 a) mit ganzzahligen n1, n2, n3, und der Abstand zu benachbarten Gitterpunkten entspricht dem Gitterparameter a entlang der Koordinatenachsen.

Zusammenhang mit dem reziproken Gitter: Das reziproke Gitter wird durch Vektoren b1, b2, b3 definiert, die die Bedingung ai · bj = 2π δij erfüllen. Reziproke Gitter sind zentral für Beugung und Darstellung von Wellen mit dem Gittermaßstab.

Anwendungen: Gittervektoren dienen der Beschreibung von Kristallstrukturen, der Berechnung von Brillouin-Zonen, Bandstrukturen sowie der Analyse von Beugungsmustern in der Röntgen- und Elektronenbeugung.

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