Geometrieanalyse

Geometrieanalyse, auch Geometric Analysis genannt, ist ein interdisziplinäres Gebiet der Mathematik, das Geometrie und Analysis verbindet. Es behandelt geometrische Strukturen und Fragestellungen durch analytische Techniken wie Differentialgleichungen, Variationsmethoden und Maß- bzw. Funktionalanalysis. Typische Objekte sind glatte Mannigfaltigkeiten, Tensorfelder und geometrische Strukturen wie Metriken.

Zu den zentralen Themen gehören Minimalflächen, harmonische Abbildungen, geodätische Flüsse (Ricci-Flow, Mean-Curvature-Flow) sowie spezielle Metriken wie Einstein- und Calabi-Yau-Metriken. Weitere Themen sind geometrische Maßtheorie, Isoperimetrik, Harmonic maps, Variationsprobleme und Spektraltheorie auf Mannigfaltigkeiten.

Die Methoden der Geometrieanalyse umfassen Variationsprinzipien, elliptische und parabolische PDEs auf Mannigfaltigkeiten, geometrische Maßtheorie sowie Sobolev-Raumtechniken und topologische Analysen. Zielsetzungen sind Existenz, Regularität, Stabilität und Konvergenz geometrischer Strukturen.

Historisch entwickelte sich das Feld aus der Riemannschen Geometrie und der Analyse partieller Differentialgleichungen. Bedeutende Beiträge stammen von Gauss, Riemann, Nash (Theorem über isometrische Einbettung), Chern, Aubin, Yau, sowie von Hamilton, Schoen, Donaldson und Perelman im späten 20. und frühen 21. Jahrhundert. Die Geometrieanalyse beeinflusst theoretische Physik, Relativitätstheorie und Stringtheorie sowie Anwendungen in der Bildverarbeitung.

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