Variationsprinzipien

Variationsprinzipien bezeichnen eine Gruppe von Prinzipien in Physik und Mathematik, nach denen sich Systeme durch die Stationarität eines Funktionsals bestimmen. Ein Funktionsal ordnet jeder möglichen Trajektorie, jedem Feld oder jeder Konfiguration eine Zahl zu; das physikalische Ergebnis wird durch diejenigen Variationen ausgewählt, bei denen das Funktionsal stationär ist (δS = 0). Die Bedingung führt gewöhnlich zu Gleichungen, die die Dynamik des Systems beschreiben, etwa zu den Euler-Lagrange-Gleichungen in der Lagrange-Formulierung.

Zu den bekanntesten Beispielen gehört das Fermatsche Prinzip: Licht folgt dem Weg mit der geringsten Reisezeit zwischen zwei Punkten. In der Mechanik ist das Prinzip der kleinsten Wirkung (Hamiltonsches Prinzip) zentral: S = ∫ L dt wird stationär gemacht, wodurch die Euler-Lagrange-Gleichungen entstehen. In der Statik gelten Prinzipien wie die virtuelle Arbeit oder das Prinzip der minimalen Energie, die Gleichgewichtszustände charakterisieren.

Auch in der Thermodynamik und Statistik kommen Variationsprinzipien zum Einsatz, etwa das Maximum-Entropie-Prinzip, das unter Nebenbedingungen die Entropie maximiert. In der Quantenmechanik liefert das Variationsprinzip (z. B. das Rayleigh-Ritz-Verfahren) Näherungen für Energieniveaus, indem das Grundzustandspotenzial minimiert wird. In der Feldtheorie finden sich stationäre Aktionen, deren Variation Feldgleichungen wie in der Elektrodynamik oder der Gravitation ergibt.

Variationsprinzipien sind damit einheitliche Werkzeuge zur Herleitung von Naturgesetzen über verschiedene Disziplinen hinweg. Eine zentrale Einschränkung ist, dass Stationarität nicht immer ein echtes Minimum bedeutet; sie kann auch ein Maximum oder ein saddle point sein.