LagrangeFormulierung

Die Lagrange-Formulierung der Mechanik ist eine Reformulierung der klassischen Mechanik, die Bewegungen aus einer Lagrange-Funktion L(q_i, q̇_i, t) ableitet. Typischerweise wird L als L = T − V gewählt, wobei T die kinetische und V die potenzielle Energie des Systems ist. Die Trajektorien ergeben sich aus dem stationären Wert des Aktionsintegrals S = ∫ L dt, gemäß dem Prinzip der kleinsten oder stationären Wirkung.

Die Gleichungen der Bewegung ergeben sich aus den Euler-Lagrange-Gleichungen d/dt (∂L/∂q̇_i) − ∂L/∂q_i = 0, wobei q_i die verallgemeinerten Koordinaten sind. Die Definition der Impulse p_i = ∂L/∂q̇_i führt zu den kanonischen Gleichungen. Die Lagrange-Formulierung ermöglicht es, Einschränkungen durch die Wahl geeigneter verallgemeinerter Koordinaten bequem zu berücksichtigen, statt sie explizit in Kräften aufzuschreiben.

Durch eine Legendre-Transformation erhält man die Hamilton-Formulierung, in der die Zustandsgrößen (q_i, p_i) statt (q_i, q̇_i) gewählt werden. Für Felder wird L durch eine Lagrange-Dichte ℒ(ϕ, ∂μϕ, x) ersetzt; die Euler–Lagrange-Feldgleichungen liefern die Feldgleichungen. Die Lagrange-Formulierung betont Energetik, Symmetrien und Konservierungssätze und bildet die Grundlage vieler Bereiche der Physik, von der klassischen Mechanik bis zur Quantenfeldtheorie.

Historisch wurde sie von Joseph-Louis Lagrange im späten 18. Jahrhundert entwickelt und stellt eine zentrale Alternative zur Newtonschen Mechanik dar. Ihr Vorteil liegt in der einfachen Behandlung von Zwangsbeziehungen, Koordinatentransformationen und der engen Verbindung zu Noethers Satz, der aus Symmetrien konstituierte Erhaltungsgrößen ableitet.