GaltonWatsonProzessen

Galton-Watson-Prozesse, auch Galton-Watson-Branching-Prozesse, sind diskrete-time stochastische Prozesse, die die Entwicklung einer Population modellieren, bei der jedes Individuum in der Generation n unabhängig von den anderen eine zufällige Anzahl Nachkommen in Generation n+1 erzeugt. Sei Z_n die Größe der Generation n und Z_0 oft gleich 1. Wenn ein Individuum k Nachkommen hat, gilt die Wahrscheinlichkeit P(X = k) = p_k, wobei X eine Kopie der Verteilungsvariablen X mit den Wahrscheinlichkeiten {p_k} ist. Dann gilt Z_{n+1} = sum_{i=1}^{Z_n} X_{n,i}, wobei die X_{n,i} i.i.d. Kopien von X sind.

Man definiert die Generating-Funztion G(s) = sum_{k>=0} p_k s^k und den mittleren Nachkommenm, m = G'(1) = sum k p_k. Die Aussterbewahrscheinlichkeit q ist die kleinste nichtnegative Lösung der Gleichung q = G(q). Wenn m <= 1, existiert q = 1, und Aussterben tritt fast sicher ein. Ist m > 1, liegt q in (0,1), und es besteht eine positive Überlebenschance.

Die Prozesstypen werden oft nach dem Mittelwert unterschieden: subkritical (m < 1), kritisch (m = 1) und supercritical (m > 1). In der supercriticalen Region wächst Z_n ungefähr wie m^n, und Z_n / m^n konvergiert fast sicher gegen eine nichtnegative Zufallsvariable W mit E[W] = 1. Die gesamte Nachkommenzahl T = sum_{n>=0} Z_n ist Gegenstand weiterer Analysen und hängt stark vom Regime ab.

Anwendungen finden sich in der Populationsbiologie, Epidemiologie, Genetik, der Analyse zufälliger Bäume und Algorithmen. Das Modell setzt Unabhängigkeit und identische Verteilung der Nachkommenszahlen voraus und ignoriert Umweltvariabilität sowie Interaktionen über die Reproduktion hinaus. Es stammt aus dem 19. Jahrhundert von Galton und Watson und wurde im 20. Jahrhundert von Probabilisten weiterentwickelt.