FourierTransformierten

Die Fourier-Transformation, auch Fourier-Transformierte genannt, ist ein mathematisches Verfahren, das eine Funktion im Zeit- oder Raum-Domänen in eine Repräsentation im Frequenzbereich überführt. Sie dient dazu, zu analysieren, welche Frequenzen in einem Signal enthalten sind, und wie stark sie auftreten. Es gibt verschiedene Varianten, darunter die kontinuierliche Fourier-Transformation (FT) und deren diskrete bzw. periodische Abwandlungen.

Kontinuierliche Fourier-Transformation: Für eine Funktion f(t) mit t in den reellen Zahlen ist F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt. Die Inverse lautet f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Verschiedene Normalisierungen sind gebräuchlich, z. B. mit 1/√(2π) vor beiden Integralen.

Diskrete Versionen: Die diskretezeitliche Fourier-Transformation (DTFT) definiert X(ω) = ∑_{n=-∞}^{∞} x[n] e^{-i ω n}, mit der Inverse x[n] = (1/2π) ∫_{-π}^{π} X(ω) e^{i ω n} dω. Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) nutzt endliche Sequenzen x[n], n=0,...,N-1, und X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i 2π kn / N}, mit der Inverse x[n] = (1/N) ∑_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i 2π kn / N}. Die schnelle Implementierung heißt FFT (Fast Fourier Transform).

Wichtige Eigenschaften: Linearität, Zeit- und Frequenzverschiebung, Skalierung, Konvolutionstheorem (Faltung in Zeitbereich entspricht Multiplikation im Frequenzbereich und umgekehrt) sowie Parsevalsatz zur Energiebilanz.

Anwendungen: Signalverarbeitung, Kommunikation, Bild- und Spektralanalyse, Lösung von Differentialgleichungen und Physik. Realwerte Signale liefern im Frequenzbereich oft eine spiegelbildliche Symmetrie.