Konvolutionstheorem

Der Konvolutionstheorem beschreibt eine fundamentale Beziehung zwischen der Faltung zweier Funktionen und deren Frequenzdarstellung. Für zwei geeignete Funktionen f und g ist die Faltung (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t−τ) dτ. Der Satz besagt, dass die Fourier-Transformation der Faltung gleich dem Produkt der Fourier-Transformationen von f und g ist. Umgekehrt gilt, dass die Faltung zweier Funktionen durch die Inverse-Transformation des Produkts ihrer Fourier-Transformierten erhalten wird: f * g = F^{-1}{F{f} · F{g}}.

Im kontinuierlichen Fall gilt: F{f * g}(ω) = F{f}(ω) · F{g}(ω), wobei F{f}(ω) = ∫ f(t) e^{-iωt} dt ist. Unter geeigneten Bedingungen (z. B. f, g ∈ L^1(R)) existieren Transformierte, und die Formel gilt; weiter lässt sich bei L^2(R) mithilfe der Plancherel-Wechselwirkung auf weitere Funktionen ausweiten.

Im diskreten Fall gibt es zwei gängige Versionen. Bei der diskreten Zeit-Darstellung (f * g)[n] = ∑_{k} f[k] g[n−k] gilt analog die DTFT-Version F{f * g}(ω) = F(ω) · G(ω). Bei der diskreten Fourier-Transformation (DFT) entsprechen Faltung und Multiplikation der transformierten Sequenzen der zyklischen Faltung; die DFT der zyklischen Faltung ist das Produkt der DFTs, skaliert je nach Definition.

Anwendungen finden sich vor allem in der Signalverarbeitung und bei linearen zeitinvarianten Systemen: Konvolution modelliert die Reaktion eines Systems auf eine Eingabe, und der Konvolutionstheorem ermöglicht die effiziente Berechnung via Transformationsraum, oft unter Einsatz der FFT.