Flächenstücke

Ein Flächenstück bezeichnet allgemein einen Teil einer Fläche; je nach Fachgebiet kann damit ein infinitesimales Gebiet (Flächenelement) oder ein endliches Flächenstück gemeint sein. In der Analysis und in der Differentialgeometrie dient das Flächenstück als Integrationseinheit bei Flächenintegralen und bei der Berechnung von Oberflächeninhalten. Für eine parametrisierte Fläche r(u,v) ist das lokale Flächenstück durch die Größe des Kreuzprodukts der partiellen Ableitungen gegeben: dS = |r_u × r_v| du dv. Bei Koordinatentransformationen in der Ebene tritt der Jakobische Determinant J auf, so dass dA = |J(u,v)| du dv gilt.

In der Differentialgeometrie wird das Flächenstück durch die Flächenform oder die erste Fundamentalform beschrieben; häufig erscheint dS = sqrt(EG − F^2) du dv, wobei E, F, G die Koordinaten der ersten Fundamentalform sind. Das Konzept ist zentral für die Berechnung von Flächeninhalten, Mittelwerten über Flächen und Flussintegralen von Vektorfeldern.

Außerhalb der reinen Mathematik findet der Begriff in der Computergrafik und numerischen Simulation (z. B. als Dreiecks- oder Polygonelement), in der Architektur (als Fassaden- oder Paneelelement) und in der bildenden Kunst (als Farb- oder Formfläche) Verwendung. In all diesen Anwendungen dient ein Flächenstück als kleinste betrachtete oder berechnete Einheit einer Fläche.