Flächeninhaltsintegral

Flächeninhaltsintegral bezeichnet das Integral einer Funktion über eine Fläche bzw. eine Region D in der Ebene. Formal ist es ∬_D f(x,y) dA, wobei f:D→R eine integrierbare Funktion ist und dA das Flächenelement darstellt (typisch dx dy oder dy dx). Wenn f ≡ 1 gewählt wird, erhält man den Flächeninhalt der Gebiet D.

Notationen und Bedeutung: Das Flächeninhaltsintegral wird oft als Doppelintegral bezeichnet. Es misst eine Größe, die gleichmäßig oder verteilungsabhängig über eine Fläche angestellt wird, zum Beispiel eine Masse mit Dichtefunktion ρ(x,y) oder andere physikalische Größen. Die Region D kann verschiedene Formen haben, von einfachen Rechtecken bis zu komplizierten Gebieten mit Randlinien.

Berechnung: Die Auswertung erfolgt durch geeignete Integrationsgrenzen und oft durch Umordnung der Integrationsreihen mittels Satz von Fubini. Man wählt die Reihenfolge der Integration so, dass die inneren Integrale sich einfach lösen. Für Doppelintegrale stehen verschiedene Koordinatensysteme zur Verfügung, insbesondere kartesische Koordinaten (x,y) und Polarkoordinaten (r,θ).

Beispiele: Die Fläche eines Einheitskreises D = {x^2 + y^2 ≤ 1} ergibt ∬_D 1 dA = ∫_0^{2π} ∫_0^1 r dr dθ = π. Die Fläche eines Rechtecks ist ebenfalls durch entsprechende Grenzen des Doppelintegrals gegeben. Mit einer Density ρ(x,y) ergibt sich die Gesamtmasse M = ∬_D ρ(x,y) dA.

Zusammenhang und Anwendungen: Flächeninhaltsintegrale sind Doppelintegrale und eine natürliche Verallgemeinerung eindimensionaler Integrale. Sie spielen eine zentrale Rolle in Geometrie, Physik und Technik, z. B. bei der Berechnung von Flächeninhalten, Massen, Probendichten und anderen über eine Fläche verteilten Größen.