Doppelintegrals

Doppelintegrale bezeichnen die Integration einer Funktion über eine zweidimensionale Region R in der Ebene. Das Doppelintegral ∬_R f(x,y) dA misst die insgesamt verteilte Größe, wobei dA das Flächenmaß ist. In kartesischen Koordinaten gilt dA = dx dy. Wenn R durch Rechtecke beschrieben ist, kann das Integral als iteriertes Integral berechnet werden: ∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx oder ∫_c^d ∫_a^b f(x,y) dx dy, vorausgesetzt, f ist integrierbar (Satz von Fubini/Tonelli).

Die doppelte Integration hat vielfältige Interpretationen und Anwendungen. Ist f ≡ 1, entspricht das Ergebnis der Fläche von R. Mit einer Dichtefunktion ρ(x,y) ergibt sich die Masse über R. Aus diesen Größen lassen sich Schwerpunkt und andere Momente bestimmen; in Wahrscheinlichkeitsräumen entspricht das Doppelintegral der Gesamtwahrscheinlichkeit über R.

Koordinatentransformationen: Bei einer Substitution in neue Koordinaten (u,v) gilt ∬_R f(x(u,v), y(u,v)) |J| du dv über dem entsprechenden Bereich S im (u,v)-Plan. Die Polarkoordinaten sind sinnvoll bei kreisförmigen Regionen; dort gilt dA = r dr dθ. Ähnliche Transformationsformen verwendet man in zylindrischen oder sphärischen Koordinaten, wenn man Volumen in drei Dimensionen betrachtet, wobei das Doppelintegral oft den Basisprozess eines dreidimensionalen Integrals bildet.

Praxishinweise: Wähle die Integrationsreihenfolge so, dass das innere Integral möglichst einfach wird. Prüfe die Grenzen der Region sorgfältig, insbesondere bei unregelmäßigen Regionen. Falls f≥0 oder f integrierbar ist, gelten Fubinis Theorem.