FiniteElementenMethoden

Finite Elementen Methoden (FEM), auch bekannt als Finite-Elemente-Methode, sind ein leistungsstarkes numerisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen. Ursprünglich in der Ingenieurwissenschaft entwickelt, hat sich FEM zu einem unverzichtbaren Werkzeug in vielen wissenschaftlichen und technischen Disziplinen entwickelt. Das Grundprinzip von FEM besteht darin, ein komplexes Problem oder einen komplexen Körper in viele kleinere, einfachere Teile, die sogenannten finiten Elemente, zu zerlegen. Diese Elemente können einfache Formen wie Dreiecke oder Vierecke in zwei Dimensionen oder Tetraeder und Hexaeder in drei Dimensionen haben.

Innerhalb jedes dieser Elemente werden die unbekannten Funktionen, die die Lösung der Differentialgleichung darstellen, durch einfache approximierende Funktionen, oft Polynome, angenähert. Diese Näherungsfunktionen werden an den sogenannten Knotenpunkten, den Ecken oder Kanten der Elemente, ausgewertet. Durch die Verknüpfung der Lösungen dieser einzelnen Elemente an den gemeinsamen Knotenpunkten wird eine globale Lösung für das gesamte Problem erstellt.

Die mathematische Formulierung von FEM basiert oft auf einer variationsformulierten oder gewichteten Residuenform der ursprünglichen Differentialgleichung. Dies führt zu einem System von linearen oder nichtlinearen algebraischen Gleichungen, das dann mit numerischen Methoden gelöst wird. Die Stärke von FEM liegt in seiner Fähigkeit, komplexe Geometrien und Randbedingungen zu handhaben, was es ideal für die Simulation von Phänomenen wie Spannungen in Bauteilen, Wärmeübertragung, Strömungsdynamik und elektromagnetischen Feldern macht. Die Genauigkeit der Lösung hängt von der Feinheit des Netzes, der Art der Elemente und der verwendeten Näherungsfunktionen ab.