Fehlerausbreitung

Fehlerausbreitung ist ein Konzept aus Statistik, Messtechnik und Physik, das beschreibt, wie Unsicherheiten in Eingangswerten einer mathematischen Beziehung in die daraus resultierende Größe übertragen werden. Sie dient dazu, die Unsicherheit einer abgeleiteten Größe zu quantifizieren, wenn Messwerte oder Modelle Unschärfen aufweisen. Unterscheidungen gibt es zwischen zufälligen (statistischen) Fehlern und systematischen (bias) Fehlern, sowie zwischen unabhängigen und korrelierten Eingangswerten.

Der gängigste Ansatz ist die analytische Fehlerausbreitung durch lineare Näherung. Wenn y = f(x1, ..., xn) und die Unsicherheiten in den x_i klein sind, gilt in erster Näherung die Varianz von y als sigma_y^2 ≈ sum_i (∂f/∂x_i)^2 sigma_i^2 + 2 sum_{i<j} (∂f/∂x_i)(∂f/∂x_j) cov(x_i, x_j). Bei unkorrelierten Größen vereinfacht sich dies zu sigma_y^2 ≈ sum_i (∂f/∂x_i)^2 sigma_i^2. Diese Formel erlaubt es, aus bekannten Einzelunsicherheiten und deren Abhängigkeiten die Gesamtheitsunsicherheit abzuleiten.

Alternativ wird die Monte-Carlo-Methode verwendet: Zufallsziehungen aus den Verteilungen der Eingangswerte erzeugen viele Instanzen von y = f(x1, ..., xn); die Verteilung von y liefert Umfang und Form der Fehlerausbreitung auch bei Nichtlinearität oder nicht-Gauß-Verteilungen.

Berichtspraxis: Die kombinierte Standardunschärfe (sigma_y) wird oft mit einem erweiterten Unsicherheitsbereich U = k sigma_y angegeben, wobei k typischerweise 2 für etwa 95% Konfidenz steht. Abhängigkeiten, Nichtlinearität und Nicht-Gauss-Verteilungen erfordern ggf. robustere Methoden oder Simulation.

Anwendungen finden sich in der Physik, Technik, Chemie und Datenanalyse, wo aus Messungen abgeleitete Größen zuverlässig interpretiert werden sollen. Beispielhaft lässt sich die Fläche A = L × W mit jeweiligen Unsicherheiten sigma_L und sigma_W mathematisch wie oben ableiten.