Faltungssequenz

Faltungssequenz bezeichnet in der Mathematik eine Folge von Funktionen oder Signalen, die durch sukzessive Faltung eines festen Kernels mit sich selbst entsteht. Sei k ein Kern in einem geeigneten Funktions- bzw. Sequenzraum, zum Beispiel k ∈ l1(Z) oder k ∈ L1(R). Dann definiert man k^{*1} = k und k^{*n+1} = k^{*n} * k, wobei * die Faltung bezeichnet. Die Folge (k^{*n})_{n≥1} wird als Faltungssequenz des Kerns k bezeichnet. In vielen Anwendungen interessiert insbesondere die n-fache Faltung der Form k^{*n}.

Im Frequenzbereich gilt eine zentrale Eigenschaft: Die Fourier- oder F-transform der Faltungssequenz erfüllt F{k^{*n}}(ω) = [F{k}(ω)]^n. Das bedeutet, dass sich das Verhalten der Sequenz durch die Potenz des Transformierten erklärt, und dass Stabilität, Glättung oder Ausbreitung maßgeblich von der Form des Kernels abhängen.

Interpretationen und Anwendungen: In der Wahrscheinlichkeitstheorie entspricht k einer Verteilungsfunktion eines Zufallsprungs. Dann ist k^{*n} die Verteilung der Summe von n unabhängigen Kopien dieser Verteilung. Unter üblichen Voraussetzungen führt das zentrale Grenzwertgesetz nach Zentrierung und Skalierung zu einer Normalverteilung; dies erklärt die Normalapproximation von diskreten Summen wie der Binomialverteilung, die als Faltungsfolge Bernoulli-Verteilungen entsteht. Im Bereich der Signal- und Bildverarbeitung dient die Faltungssequenz der Glättung oder dem Filtering von Signalen: wiederholte Faltung mit einem Kern erhöht die Glättung, wobei der Grenzwert oft der Gauss-Kern ist, entsprechend einem Diffusionsprozess.

Konvergenz und Skalierung: Ohne Normierung kann die Masse der Folge variieren oder verloren gehen. Unter geeigneten Annahmen führt eine entsprechende Skalierung bzw. Zentrierung der Faltungssequenz zu konvergenten Limits, häufig zu Normalverteilungen bzw. zu Gauss-Kernen im Diffusionslimit.