Exponentiële

Exponentiële verwijst in de wiskunde naar processen en functies waarin de verandering in een hoeveelheid proportional is aan de hoeveelheid zelf. De exponentiële functie f(x) = a^x beschrijft zo’n relatie, voor basis a > 0 en a ≠ 1. De bijzondere natuurlijke exponentiële functie e^x gebruikt e ≈ 2,71828 als basis en is de inverse van de natuurlijke logaritme ln.

Eigenschappen: a^x kan geschreven worden als e^{x ln a}. De afgeleide is d/dx a^x = a^x ln a; d/dx e^x = e^x. ∫ a^x dx = a^x / ln a + C. De functie is strikt stijgend als a > 1 en strikt dalend als 0 < a < 1; het bereik is (0, ∞) voor alle geldige basis. De grafiek is convex en ligt geheel boven de x-as, met f(0) = 1.

Toepassingen: exponentiële groei en afname komen voor in populatiedynamiek, biologie, chemie en economie. Voor continu samengestelde rente is de formule y = y0 e^{kt}, en bij bevolkingsgroei of rentegroei volgt het patroon via e, de limiet van (1 + 1/n)^n bij n → ∞. Oplossingen van differentiaalvergelijkingen dy/dx = k y hebben de vorm y = C e^{k x}, wat de rol van e als basis van exponentiële groei onderstreept. Theoretisch zien we ook hoe discrete groei en continue groei met elkaar verbonden raken via dezelfde exponentiële basis.