EulerMaruyamaVerfahren

Das Euler-Maruyama-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Simulation stochastischer Differentialgleichungen (SDEs). Es dient der Approximation von Realisationspfaden und ist die stochastische Entsprechung des deterministischen Euler-Verfahrens.

Betrachtet wird eine SDE der Form dX_t = a(X_t, t) dt + b(X_t, t) dW_t, wobei X_t ∈ R^d, a: R^d×R_+ → R^d und b: R^d×R_+ → R^{d×m}. Für eine Schrittweite Δt > 0 mit t_n = nΔt gilt die diskrete Approximation X_{n+1} = X_n + a(X_n, t_n) Δt + b(X_n, t_n) ΔW_n, wobei ΔW_n = W_{t_{n+1}} − W_{t_n} ~ N(0, Δt). In der Mehrdimensionalität ist ΔW_n ein Vektor aus m unabhängigen Normalvariablen und die Vektor- bzw. Matrixformen von a und b werden entsprechend verwendet.

Konvergenz und Eigenschaften: Unter Standardbedingungen wie Lippenchitz- und Wachstumsbedingungen für a und b besitzt das Verfahren einen starken Konvergenzorder von 1/2 und einen schwachen Konvergenzorder von 1. Es ist ein explizites Verfahren, das X_{n+1} direkt aus X_n berechnet, sofern die Koeffizienten eindeutig definiert sind. Für steife SDEs ist es oft ungeeignet; dann kommen drift- oder diffusion-implizite Varianten oder adaptives Schrittweiten-Stepping zum Einsatz.

Verwandte Methoden und Anwendungen: Das Milstein-Verfahren erhöht den starken Konvergenzorder, während höhere stochastische Runge-Kutta-Verfahren weitere Verbesserungen ermöglichen. Typische Anwendungen finden sich in der Finanzmathematik zur Modellierung von Aktienkursen oder Zinsprozessen, in der Physik und in der Biologie, wo stochastische Effekte eine Rolle spielen.

Implementierungshinweise: Zur Simulation erzeugt man Z_n ~ N(0,1) und setzt ΔW_n = √(Δt) Z_n; dann wiederholt man die Iteration über das gewünschte Zeitintervall.