MilsteinVerfahren

Das Milstein-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur approximativen Lösung stochastischer Differentialgleichungen SDEs. Es gehört zu den Methoden der starken Approximation und erhöht die Genauigkeit gegenüber dem Euler–Maruyama-Verfahren, insbesondere wenn die Diffusionskomponente von dem Zustand abhängt. Es wird häufig in der Theorie der Simulation stochastischer Prozesse sowie in Anwendungen wie Finance, Physik und Ingenieurwesen eingesetzt.

Im eindimensionalen Fall betrachtet man eine SDE der Form dX_t = a(X_t, t) dt + b(X_t, t) dW_t mit X_0 gegeben. Wählt man eine Zeitdiskretisierung mit Schrittweite h und ΔW_n ≈ N(0, h), ergibt sich die Milstein-Discretisierung: X_{n+1} = X_n + a(X_n, t_n) h + b(X_n, t_n) ΔW_n + 1/2 b(X_n, t_n) ∂b/∂x (X_n, t_n) [ (ΔW_n)^2 − h ]. Die Ableitung ∂b/∂x wird also benötigt. Diese Form führt zu einer starken Konvergenzordnung von etwa 1 unter passenden Regularitätsbedingungen, deutlich besser als Euler–Maruyama, das Ordnung 0,5 besitzt.

Für mehrdimensionale SDEs der Form dX_t = a(X_t, t) dt + B(X_t, t) dW_t, mit W_t mehrdimensional und B eine Matrix, erweitert sich der Milstein-Schema zu zusätzlichen Terms, die die iterierten Ito-Integrale berücksichtigen. Eine übliche Form lautet: X_{n+1} = X_n + a(X_n) h + sum_i B_i(X_n) ΔW_i + sum_i sum_j L_i B_j(X_n) (ΔW_i ΔW_j − δ_{ij} h), wobei L_i = sum_k B_{k,i}(X_n) ∂/∂x_k. Diese Erweiterung erhöht die Komplexität, insbesondere bei der Berechnung von Ableitungen und Kreuztermen.

Vorteile des Milstein-Verfahrens liegen in der besseren Konvergenz und Genauigkeit bei diffusionsabhängigen SDEs, während seine Anwendung durch die Notwendigkeit von Ableitungen der Diffusionsmatrix und durch erhöhte Implementierungs-Komplexität begrenzt wird. Typische Einsatzgebiete umfassen quantitativ-finanzielle Modelle, physikalische Modellierungen und technische Simulationen.