Ereignismodelle

Ereignismodelle sind mathematische und statistische Ansätze zur Beschreibung der zeitlichen Anordnung von Ereignissen. Typische Anwendungsfelder reichen von Versicherungs- und Finanzdaten über Ausfälle und Wartung bis hin zu Naturereignissen und Transaktionen. Im Kern geht es darum, Zeitpunkte von Ereignissen zu modellieren und daraus Schlüsse über die zugrunde liegende Dynamik zu ziehen.

Grundkonzepte: Ein zentrales Objekt ist der Punktprozess, der eine Folge von Zeitpunkten T1, T2, … betrachtet. Über dem Prozess steht oft der Zählprozess N(t), der angibt, wie viele Ereignisse bis zur Zeit t eingetreten sind. Die bedingte Intensität λ*(t|Ht) beschreibt die momentane Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem kleinen Zeitintervall, gegeben die bisher beobachteten Ereignisse Ht.

Wichtige Typen:

- Poissonprozess: konstanter Rate λ; Ereignisse treten unabhängig voneinander auf; Intervallzeiten sind exponentiell verteilt.

-inhomogener Poissonprozess: λ variiert zeitlich, wodurch saisonale oder zeitabhängige Muster abgebildet werden können.

- Renewalprozess: Interarrival-Zeiten folgen einer allgemeinen Verteilung; Abfolge nicht notwendigerweise speichermfrei.

- Hawkes-Prozess: self-exciting oder selbstanregend; jedes Ereignis erhöht kurzzeitig die Ereignisrate und beeinflusst damit zukünftige Ereignisse.

- Markov-modulated Poissonprozess: die Rate wird durch einen zugrundeliegenden Markovprozess gesteuert und wechselt zwischen Zuständen.

Schätzung und Anwendungen: Parameterenschätzung erfolgt häufig über Maximum-Likelihood, Momentenmethoden oder nichtparametrische/semiparametrische Ansätze; bei Hawkes-Prozessen ergänzen EM-Verfahren oder spezielle Optimierungsmethoden die Auswertung. Typische Anwendungen finden sich in der Risikomodellierung, Zuverlässigkeit von Systemen, Seismologie, Finanzhandel (Spot- und Orderflows) sowie Epidemiologie.

Vor- und Nachteile: Ereignismodelle bieten Flexibilität und interpretierbare Dynamiken, erfordern aber oft reichlich Daten und eine sorgfältige Modellwahl, um Missspezifikationen zu vermeiden.