Equivariante

Equivariante es un término utilizado en matemáticas para describir una propiedad de estructuras que preservan una acción de un grupo. En particular, se aplica a mapas entre espacios sobre los que actúa un grupo, de modo que el mapa respeta esa acción.

Definición formal: Sea G un grupo que actúa sobre X e Y. Una función f: X -> Y es G-equivariante si, para todo g en G y todo x en X, se cumple f(g.x) = g.f(x). En el caso de representaciones lineales ρ_X: G -> GL(V) y ρ_Y: G -> GL(W), la aplicación f es G-equivariante si f(ρ_X(g)x) = ρ_Y(g)f(x) para todo g en G y x en V.

Ejemplos: la identidad de X es G-equivariante. Una aplicación lineal entre representaciones es G-equivariante si conmute con la acción, es decir, f ∘ ρ_X(g) = ρ_Y(g) ∘ f para todo g. Un mapa constante puede ser equivariante si su valor es fijo por la acción de G.

Uso y propiedades: las funciones equivariantes preservan las órbitas de la acción y permiten estudiar la acción de G mediante el cociente X/G. Forman morfismos en la categoría de espacios con acción de G. En teoría avanzada se estudian conceptos relacionados como la cohomología equivariante, bundles equivariante y formas equivariante.

Variantes y extensiones: la noción se aplica a acciones de grupos Lie, variedades diferenciables y otros contextos geométricos donde se exige compatibilidad entre la acción de G y la estructura observada. En física y computación, la equivarianza facilita la construcción de objetos que respetan simetrías.