EnergieFunktion

Eine Energiefunktion (Energiefunktion) ist eine skalare Funktion, die dem Zustand eines Systems einen Energiewert zuordnet. Sie dient als abstrakter Maßstab für Stabilität, Struktur oder Wahrscheinlichkeit in Physik, Dynamik, Optimierung und maschinellem Lernen.

In dynamischen Systemen x' = f(x) wird eine Energiefunktion E oft so gewählt, dass E(x)≥0 und E einen Minimumpunkt am gewünschten Gleichgewicht annimmt. Die zeitliche Veränderung der Energie entlang einer Trajektorie ergibt dE/dt = ∇E(x)·f(x). Wenn dE/dt ≤ 0 gilt, spricht man von dissipativer, stabilisierender Dynamik; E dient dann oft als Lyapunov-Funktion oder als Indikator für Konvergenz.

In der Physik entspricht die Energiefunktion häufig der potenziellen Energie V(q) oder der Gesamtenergie H = T+V (mit kinetischer Energie T). Energie-Landschaften erklären, wie Systeme zu energetisch günstigen Zuständen konvergieren, und werden genutzt, um Stabilität, Wechselwirkungen und Reaktionspfade zu modellieren.

In Optimierung und maschinellem Lernen kommen Energiefunktionen in energiebasierten Modellen zum Einsatz. Wahrscheinlichkeiten werden oft durch P(x) ∝ exp(-E(x)/T) beschrieben. Durch Minimierung von E(x) oder durch Sampling aus der Verteilung mit geringem E können Modelle Daten repräsentieren. Beispiele sind Boltzmannmaschinen, rekursive Modelle oder Bild- und Segmentierungsverfahren, bei denen eine minimale Energie zu konsistenten Strukturen führt.

Wichtige Begriffe in Zusammenhang sind potenzielle Energie, Hamiltonian, Lyapunov-Funktion und Energie-basierte Modelle. Energiefunktionen sind nicht eindeutig definiert und können von der gewählten Repräsentation abhängen; nicht jedes System besitzt eine globale Energiefunktion.