Endomorfisme

Endomorfisme adalah morfisme dari suatu objek ke dirinya sendiri. Secara umum, dalam teori kategori, End(X) didefinisikan sebagai himpunan Hom(X, X), yaitu semua morfisme dari X ke X. End(X) memiliki struktur monoid di bawah komposisi, dengan identitas objek X sebagai elemen identitas. Konsep ini dapat diterapkan pada berbagai struktur matematika, seperti grup, cincin, modul, ruang vektor, dan ruang topologi.

Dalam aljabar, endomorfisme sering berarti endomorfisme struktur terkait. Endomorfisme linear adalah peta linear dari ruang vektor V ke V. Jika V adalah ruang vektor berdimensi n over sebuah bidang F, maka End_F(V) berstruktur sebagai aljabar F-ke, dan secara umum End_F(V) ≅ M_n(F), yaitu himpunan semua matriks n×n over F dengan operasi penjumlahan dan komposisi. Contoh sederhana termasuk peta identitas id_V dan peta nol 0_V, keduanya adalah endomorfisme.

Endomorfisme invertibel disebut automorfisme; automorfisme membentuk grup Aut(X) di bawah komposisi. Contohnya, automorfisme linear pada ruang vektor adalah invertibel operator linear. Dalam konteks cincin atau modul, endomorfisme juga dapat dilihat sebagai homomorfisme dari struktur tersebut ke dirinya sendiri, dan End(R) atau End_M(M) sering dipakai untuk menyatakan himpunan semua endomorfisme dengan struktur operasional yang sesuai.

Secara ringkas, endomorfisme menggeneralisasikan konsep “peta dari objek ke dirinya sendiri” dan merupakan alat sentral dalam studi struktur algebraik melalui sifat-sifatnya seperti invertibilitas, ukuran imagen, dan hubungan dengan automorfisme.