Elipsoida

Elipsoida es una superficie cerrada de una forma suave y cuadrática que sirve como la 3D análoga de la elipse. En coordenadas cartesianas puede describirse como el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1, donde a, b y c son los semiejes positivos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. Si a = b = c, la elipsoide es una esfera. Si dos ejes son iguales, resulta en una elipsoide de revolución (esferoide): oblata si c < a y prolata si c > a. En el caso general, los tres ejes son distintos.

Una propiedad fundamental es su volumen, V = 4/3 π a b c. La superficie, en cambio, no tiene una fórmula cerrada simple en el caso general; se pueden usar aproximaciones, como la fórmula de Ramanujan o la de Knud Thomsen, que proporcionan estimaciones razonables para la superficie en función de a, b y c.

Una forma práctica de parametrizar la elipsoide es: x = a sin φ cos θ, y = b sin φ sin θ, z = c cos φ, con φ ∈ [0, π] y θ ∈ [0, 2π). También se puede describir por el marco matricial detalla: (x, y, z)ᵀ diag(1/a^2, 1/b^2, 1/c^2) (x, y, z) = 1, lo que facilita manipulaciones en geometría computacional y visión por computadora.

Las elipsoides aparecen en geodesia para modelar la forma de la Tierra y otros cuerpos celestes, en óptica y acústica para superficies reflectoras y en gráficos por computadora como superficies de renderizado realistas.