elipsoides

Elipsoide é a superfície geométrica que generaliza a elipse para o espaço tridimensional. Pode ser definida como o conjunto de pontos que satisfazem uma forma quadrática ou, de modo equivalente, como a imagem de uma esfera sob uma transformação linear. Em coordenadas com a origem no centro e eixos alinhados aos eixos cartesianos, a equação é x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1, onde a, b e c são os semieixos. Se a = b = c, o elipsoide é uma esfera.

Uma elipse de revolução é um caso especial conhecido como esferoide, quando dois semieixos são iguais (a = b). Nesse caso existem duas configurações básicas: esferoide oblato, em que c < a = b, e esferoide prolate, em que c > a = b. Quando a, b e c são diferentes, fala-se em elipsoide tri-axial.

Propriedades importantes incluem o fato de o elipsoide possuir simetrias de três planos principais e poder ser obtido pela aplicação de uma transformação linear em uma esfera. O volume é dado por V = 4/3 π a b c. A área de superfície não tem, em termos gerais, uma expressão elementar; fórmulas fechadas existem apenas para casos com simetria (esferoide de revolução). A geometria elipsoidal também é expressa pela forma de uma seção cônica de uma quadrica.

Aplicações incluem modelagem de corpos naturais e artificiais, geodesia e astronomia (por exemplo, representar a forma aproximada da Terra como esferoide oblado), computação gráfica (volumes limitantes) e estatística (regiões elipsoidais de confiança). Parametricamente, pode-se representar um elipsoide como (a sinφ cosθ, b sinφ sinθ, c cosφ) com φ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π].