Eigenvektorzentralität

Die EigenvektorZentralität ist ein Maß für den Einfluss eines Knotens in einem Netzwerk, das darauf basiert, dass Verbindungen zu bereits zentralen Knoten stärker gewichtet werden. Formal ergibt sich die Zentralität aus dem Haupt-Eigenvektor der Adjazenzmatrix A des Netzwerks. Es gilt Ac = λ1 c, wobei λ1 der größte Eigenwert von A ist und c der zugehörige Eigenvektor. Die i-te Komponente c_i dient als Zentralitätswert des Knotens i. Bei zusammenhängenden, nicht negativen Adjazenzmatrizen existiert gemäß dem Perron-Frobenius-Theorem eine eindeutige, nichtnegative Lösung; die Werte werden üblicherweise normiert (z. B. so, dass die Summe der Komponenten 1 ergibt).

Berechnung und Interpretation erfolgt typischerweise durch die Potenziteration: Startvektor x mit gleichen Einträgen, wiederholte Multiplikation mit A und anschließende Normierung. In gewichteten Netzwerken entspricht A den Kantengewichten; bei gerichteten Graphen unterscheiden sich In- und Out-EigenvektorZentralität, indem man A bzw. A^T betrachtet.

Besonderheiten und Einschränkungen: EigenvektorZentralität setzt nichtnegative Einträge in A voraus, damit das Perron-Vektorprinzip greift. In nicht zusammenhängenden Netzwerken liefert der Hauptvektor pro Komponenten lösungsweise zentrale Werte pro Teilgraph. Die Methode kann zu Lokalisierung führen, d. h. die Zentralität konzentriert sich stark auf wenige Knoten in stark ungleich verteilten Netzwerken.

Beziehungen zu anderen Maßzahlen: Katz-Zentralität generalisiert die Idee über alle Weglängen mit Dämpfung, PageRank ist eine modifizierte Form der EigenvektorZentralität für stochastische Matrizen mit Speicher- und Abbrechungsmechanismen. EigenvektorZentralität ist eine rein zentrale Größe, die in Abhängigkeit von Netzstruktur und Gewichten interpretierbar bleibt.