KatzZentralität

Katz-Zentralität ist ein Zentralitätsmaß in der Netzwerkanalyse, das den Einfluss eines Knotens mithilfe aller Pfade in einem Netzwerk bewertet, wobei längere Pfade durch einen Abklingfaktor attenuiert werden. Sie verallgemeinert die Grad-Zentralität, indem sie neben direkten Nachbarn auch vererbte Verbindungen über beliebige Pfadlängen hinweg berücksichtigt.

Formal lässt sich die Katz-Zentralität über die Adjazenzmatrix A eines ungerichteten oder gerichteten Graphen definieren. Sei α ein Abklingfaktor mit 0 < α < 1/ρ(A) (ρ(A) ist der Spektralradius von A). Die zentrale Vektor c ergibt sich als

c = ∑_{k=1}^∞ α^k A^k 1,

wobei 1 der Vektor der Einsen ist. In kompaktester Form lässt sich c auch ausdrücken als

c = α A (I − α A)^{−1} 1,

und äquivalenter durch die lineare Gleichung

(I − α A) c = α A 1.

Damit ist die Katz-Zentralität die Summe aller attenuierten Pfade, die von einem Knoten ausgehen und zu allen anderen Zielen führen.

Eigenschaften und Variationen: Die Zentralität hängt von der Wahl von α ab; kleinere Werte betonen kurze Pfade, größere Werte berücksichtigen auch längere Pfade stärker. Für α, das nahe 1/ρ(A) liegt, nähert sich die Katz-Zentralität der Eigenvektor-Zentralität. In gerichteten oder gewichteten Graphen gilt die Definition mit der entsprechenden (gewichteten bzw. zulässigen) Adjazenzmatrix.

Historisch stammt das Konzept von Leo Katz, der es 1953 einführte. Anwendungen finden sich in sozialen Netzwerken, Zitier- und Kollaborationsnetzwerken sowie Information- oder Kommunikationsnetzwerken.