Egenverdimetoder

Egenverdimetoder är metoder för att beräkna egenvärden och tillhörande egenvektorer för matriser och generella egenvärdesproblem av typen A x = λ x eller A x = λ B x. De används inom områden som mekanik, fysik, signalbehandling och dataanalys för att uppnå insikter om frekvenser, stabilitet och dominerande riktningar i system och data.

Metoderna delas vanligtvis in i direkta och iterativa metoder. Direkta metoder syftar till att få fram ett helt eller stort antal egenvärden genom faktorizationer och spektral reduktion; QR-algoritmen är en central teknik här och används ofta för att erhålla spektrumet av en given matris. Iterativa metoder är särskilt lämpliga för stora och sparsammaproblem och inkluderar kraftmetoden (power method), inversionsmetoden (inverse iteration) och Rayleigh-quotient iteration. Modernare varianter som Lanczos-metoden för stora symmetriska matriser och Arnoldi-iterationen för generaliserade eller icke-symmetriska problem används ofta när endast ett fåtal extremt stora eller små egenvärden efterfrågas.

För symmetriska eller Hermitiska matriser är egenvärdena reella och egenvektorerna kan väljas ortogonala, vilket förenklar beräkningar och förbättrar stabiliteten. Generella eller icke-symmetriska problem hanteras vanligtvis med Arnoldi- eller Krylov-sbaserade metoder samt anpassade skjuts- och avvecklingsstrategier. Egenverdimetoder används såväl i teoretiska analyser som i praktiska tillämpningar som modellering av vibrationer, kvantsystem, PCA och nätverksanalys.

Historiskt utvecklades många av dessa metoder under 1900-talet, där QR-algoritmen och Jacobi-metoden spelade centrala roller i modern numerisk linjär algebra.