Divergenzfrei

Divergenzfrei bedeutet in der Vektoranalysis, dass ein Vektorfeld F in einem Gebiet Ω die Gleichung ∇·F = 0 erfüllt. Man spricht auch von solenoidal Feldern. Die Divergenz misst die lokale Quellenstärke eines Feldes; bei Divergenzfreiheit gibt es weder lokale Quellen noch Senken, und der Feldfluss durch eine geschlossene Oberfläche bleibt konstant.

Wichtige Eigenschaften und Darstellung: Wenn ein Feld F als Rotation eines anderen Feldes geschrieben werden kann, F = curl A, dann gilt automatisch ∇·F = 0 (die Divergenz einesCurl-Feldes verschwindet). In einfach zusammenhängenden Räumen existiert unter passenden Randbedingungen oft ein Vektorfeld A, sodass F = curl A, was eine häufige Methode zur Konstruktion divergenzfreier Felder ist. Nach der Helmholtz-Spaltung lässt sich ein genügend glattes F in einen divergenzfreien und einen irrotierenden Anteil zerlegen; der divergenzfreie Anteil ist dann nicht von dem irrotierenden Anteil abhängig.

Beispiele und Anwendungen: Ein klassisches Beispiel in drei Dimensionen ist F(x, y, z) = (−y, x, 0), dessen Divergenz ∂(−y)/∂x + ∂x/∂y + ∂0/∂z = 0. In der Physik hat Divergenzfreiheit eine zentrale Bedeutung: In der Strömungsmechanik ist sie die Bedingung der Incompressibilität eines Fluids, d. h. Masse wird lokal nicht komprimiert. Im Elektromagnetismus ist die Divergenzfreiheit von B-Feldern eine Folge des Nichtvorhandenseins magnetischer Monopole (∇·B = 0).

Numerische Behandlung: In der Modellierung wird oft die Helmholtz-Hodge-Zerlegung oder Projektionen in divergenzfreien Unterräume verwendet, um Divergenzfreiheit numerisch zu erhalten. Relevante Konzepte sind auch H(div)-Funktionen und entsprechende Randbedingungen.

Siehe auch: Divergenz, Rotation (Curl), Incompressibilität, Helmholtz-Spaltung, Solenoidal-Felder.