Diagonalstruktur

Diagonalstruktur bezeichnet in der Mathematik, Physik und Informatik allgemein eine Anordnung oder Struktur, bei der die relevanten Beziehungen, Kopplungen oder Koeffizienten vornehmlich entlang einer Hauptdiagonalen liegen. In einer solchen Struktur sind viele Elemente außerhalb der Diagonale Null oder vernachlässigbar, wodurch Komponenten des Systems oft entkoppelt oder vereinfacht beschrieben werden können.

In der linearen Algebra bildet die Diagonalmatrix das prototypische Beispiel einer Diagonalstruktur. Eine Diagonalmatrix D hat nur Einträge auf der Hauptdiagonalen ungleich Null. Ein Operator T ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Basis gibt, in der T durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. In dieser Basis entsprechen die Diagonaleinträge den Eigenwerten; die Diagonalisierung erleichtert Berechnungen wie Potenzen von T oder Funktionen von T.

In der Praxis führt eine Diagonalstruktur häufig zu Entkopplung von Gleichungen oder Modellen. Systeme, die in einer geeigneten Basis diagonalisiert sind, lassen sich separat lösen. In der Numerik ermöglicht sie schnellere Algorithmen zur Lösung linearer Gleichungssysteme und zur Berechnung von Potenzen. In der Physik und Quantenmechanik beschreibt die Diagonalstruktur oft die Darstellung von Observablen oder Zuständen im Eigenbasis, wodurch Messwerte direkt interpretiert werden können.

Typische Beispiele sind die Einheitsmatrix und allgemeine Diagonalmatrizen diag(λ1, ..., λn). Allgemein kann eine Matrix durch geeignete Basisänderung in eine Diagonalform überführt werden, sofern sie diagonalisierbar ist. Der Begriff findet auch Anwendung bei Blockdiagonalstrukturen, bei denen Teilbereiche unabhängig voneinander behandelt werden.

Siehe auch Di diagonalmatrix, Diagonalisation, Eigenwert.