DModulTheorie

Die D-Modultheorie ist ein Teilgebiet der algebraischen und analytischen Geometrie, das sich mit Modulen über der Sheaf der Differentialoperatoren beschäftigt. Typischerweise betrachtet man glatte algebraische Varietäten oder komplexe Mannigfaltigkeiten über einem Feld der Characteristic Null; für eine solche Varietät X sei D_X die Sheaf der differentialoperatoren. Ziel ist es, die algebraische Struktur von Systemen von Differentialgleichungen geometrisch zu codieren und zu untersuchen.

Zu den zentralen Objekten gehören D_X-Module, also linke oder rechte Module über D_X, deren Eigenschaften vielfach analog zu Lösungen von Differentialgleichungen interpretiert werden. Wichtige Klassen sind holonome D_X-Module, regulär holomorphe D_X-Module und einfache bzw. zusammengesetzte D_X-Module. Wichtige Operationen umfassen direkte und inverse Bilder von D-Modulen, Tensorprodukte über D_X, Internal Hom sowie die Ableitung in abgeleiteten Kategorien. Die Theorie arbeitet häufig mit der abgeleiteten Kategorie D^b(Mod(D_X)) und deren T- und Verdier-Dualität.

Wesentliche Ergebnisse sind unter anderem der Riemann–Hilbert-Korrespondenzsatz, der regulär holomorphe D_X-Module äquivalent mit pervertierten Schichten verknüpft, Beilinson–Bernstein-Lokalisierung, die eine Verbindung zwischen D-Modulen auf Flaggenvarietäten und Darstellungen von Lie-Algebren herstellt, sowie Kashiwaras Äquivalenz für Einbettungen. Allgemein gilt, dass holonome D-Module endliche Länge besitzen und oft finiten Typen entsprechen.

Anwendungen finden sich in der Repräsentationstheorie, der algebraischen Geometrie, Singulitätstheorie und Hodge-Theorie. Die D-Modultheorie dient zudem als Brücke zu mikroanalytischen Methoden, Irregulären D-Modulen und verwandten Perspektiven in der Geometrie der Differentialgleichungen.