Curvas

Las curvas son un término general para describir la trayectoria de puntos en un espacio o el conjunto de puntos que cumplen una relación entre dos o más coordenadas. En geometría, una curva puede definirse de varias maneras: como una parametrización r(t) = (x(t), y(t)) en el plano, o como una ecuación F(x,y)=0; en el espacio, mediante r(t)=(x(t), y(t), z(t)). Las curvas pueden ser planas o espaciales; las planas pueden expresarse expresamente, x=f(t), y=g(t). Las curvas algebraicas son las definidas por polinomios F(x,y)=0.

Propiedades importantes incluyen la regularidad (la derivada no nula en cada punto), la curvatura κ, que mide la desviación de la recta, y la torsión τ, que describe la variación de la curvatura en el espacio. La longitud de arco y la reparametrización permiten hablar de la medida y la trayectoria sin depender de la parametrización elegida.

Ejemplos clásicos: la recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la espiral logarítmica y la curva sinusoidal. En contextos aplicados, las curvas modelan trayectorias físicas, contornos en diseño asistido por computadora, rutas de navegación y curvas de nivel en topografía. En matemáticas, las curvas son objetos centrales en geometría diferencial, topología y teoría de funciones, y se estudian en relación con conceptos como suavidad, singularidades y curvas algebraicas.