Compactificación

Compactificación es un concepto de la topología y, en física, de la geometría de espacios. En su forma matemática, une un espacio X con un espacio compacto K de modo que X se identifique como un subespacio denso de K, conservando la topología de X. Así, X es embebido en K mediante una función continua que es un homeomorfismo sobre su imagen, y la topología de X coincide con la de ese subconjunto de K.

Una construcción fundamental es la compactificación de una sola punta (compactificación de Alexandroff). Si X es un espacio localmente compacto y de Hausdorff, existe una compactificación X∪{∞} en la que ∞ es un punto agregado y los entornos de ∞ están determinados por los complementos de conjuntos compactos de X. Un ejemplo clásico es la compactificación de R, que resulta en un espacio homeomorfo a la circunferencia S^1. Este tipo es útil para estudiar el “comportamiento en el infinito” de X.

La compactificación de Stone–Čech, para espacios completamente regulares, es la más grande entre las compactificaciones de X. Denotada βX, posee una propiedad universal: cualquier mapa continuo de X a un espacio compacto Hausdorff se extiende de forma única a βX. βX es único a nivel de homeomorfismo, y se utiliza para caracterizar funciones continuas y límites en espacios no compactos.

En física y geometría, el término se emplea para describir la compactificación de dimensiones extra, por ejemplo en teorías de cuerdas, donde dimensiones espaciales adicionales se enrollan en variedades pequeñas como círculos o variedades más complejas.

Nota: no todas las spaces admiten una compactificación de una punta; la existencia de una compactificación útil suele requerir que X sea Hausdorff y, en el caso de la compactificación de Čech–Stone, completamente regular (o Tychonoff).