CkRegularität

Ck-Regularität, meist geschrieben als C^k-Regularität, bezeichnet die Zugehörigkeit einer Funktion zu einer Differenzierbarkeitsklasse der Ordnung k. Sei Ω offen in R^n. Eine Funktion f: Ω → R gehört zu C^k(Ω), wenn alle partiellen Ableitungen D^α f existieren und stetig sind für alle mehrindex α mit dem Betrag |α| ≤ k. Für k = 0 bedeutet dies Stetigkeit; k = 1 umfasst f und alle ersten partiellen Ableitungen, etc. Die Klasse C^∞ (unendlich viele Ableitungen vorhanden und stetig) wird als glatt oder smooth bezeichnet. C^k lässt sich auch für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten definieren: Eine Abbildung f:M → N ist C^k, wenn in lokalen Koordinaten C^k-Standards vorliegen.

Notationen und Räume. C^k(Ω) ist ein Vektorraum; C^∞ oder C^ω kennzeichnen die unendliche Differenzierbarkeit. Auf kompakten Mengen können Normen definiert werden, etwa ||f||_{C^k(Ω)} = ∑_{|α|≤k} sup_{x∈Ω} |D^α f(x)|, wodurch C^k(Ω) zu einem Banachraum wird; auf allgemeinen offenen Ω spricht man meist von einer lokalen oder semi-normierten Struktur.

Beispiele. Polynome sind C^∞, während f(x)=|x| auf R nicht in C^1 am Nullpunkt ist. Höhere Regularität lässt sich durch die Verwechselung mit Hölder-Klassen wie C^{k,α} ergänzen, die zusätzlich eine α‑te Hölder-Stetigkeit der k-ten Ableitung verlangen.

Anwendungen. C^k-Regularität spielt eine zentrale Rolle in der Analysis, Geometrie und der Theorie partieller Differentialgleichungen, insbesondere in der Regularitätstheorie, die untersucht, unter welchen Bedingungen Lösungen höherer Ordnung glatter werden. In der Geometrie dient C^k als Anforderung für differenzierbare Strukturen auf Mannigfaltigkeiten.