Braidrepresentaties

Braidrepresentaties zijn representaties van braingroepen in lineaire ruimte, oftewel homomorfismen rho van de braingroep B_n naar een groep van invertibele matrices GL(V) over een veld of ring. De braingroep B_n wordt gegenereerd door de knopen sigma_i (1 ≤ i ≤ n−1) met de relaties: sigma_i sigma_j = sigma_j sigma_i voor |i−j| > 1 en sigma_i sigma_{i+1} sigma_i = sigma_{i+1} sigma_i sigma_{i+1}. Representaties geven een algebraïsche actie van knopenbraids op vectorruimten.

Belangrijke voorbeelden en bouwstenen zijn onder meer:

- De Burau-representatie (inclusief de gereduceerde Burau-representatie) rho: B_n → GL_{n−1}(Z[t,t^{-1}]); een klassieke familie waarvan de feitelijkheid in hogere n onderwerp van onderzoek is.

- De Lawrence–Krammer–Bigelow-representatie, een doorgedreven constructie die B_n naar GL_N(K) stuurt en voor alle n bewezen betrouwbaar is, waardoor wordt aangetoond dat braidgroepen lineair zijn.

- Representaties via Hecke-algebras (Iwahori-Hecke algebras) die B_n afbeelden via quotienten, wat leidt tot quantum-knoopinvarianten zoals HOMFLY-PT en Jones.

- Representaties uit quantumgroepen en R-matrices (bijv. U_q(sl_2)) die braidgroepen acteren op tensorproducten van representaties.

- Monodromie van KZ-vergelijkingen (Kohno–Drinfeld) die B_n representeert via differen tialeigen.

Toepassingen en verbanden:

Het sluiten van een braid levert een knoop of link op; Markov-beschikkingen verbinden braid-equivalentie met link-isotopie. Representaties leveren knoop- en linkinvarianten op basis van algebraïsche data. Braidrepresentaties spelen een centrale rol in topologie, algebra en mathematische fysica, en vormen een sleutelgebied van studie in de representatietheorie.