Bordismustheorie

Bordismustheorie ist ein zentrales Konzept der algebraischen Topologie, das sich mit der Klassifikation von Mannigfaltigkeiten und ihren Randstrukturen beschäftigt. Entwickelt in den 1960er-Jahren von Michael Atiyah und Raoul Bott sowie anderen Mathematikern, verbindet die Theorie topologische Invarianten mit algebraischen Strukturen, insbesondere der K-Theorie und der Kobordismustheorie.

Ein zentraler Gedanke der Bordismustheorie ist die Idee, dass zwei geschlossene Mannigfaltigkeiten *kobordant* sind, wenn sie durch eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand verbunden werden können, wobei die beiden ursprünglichen Mannigfaltigkeiten die Randkomponenten bilden. Diese Relation ist eine Äquivalenzbeziehung, die zur Konstruktion von Kobordismusgruppen führt. Diese Gruppen klassifizieren Mannigfaltigkeiten bis auf Kobordanz und sind oft isomorph zu Gruppen aus der K-Theorie oder anderen algebraischen Invarianten.

Ein wichtiger Anwendungsbereich der Bordismustheorie liegt in der Analyse von topologischen Obstruktionen. Durch die Untersuchung von Kobordismusklassen lassen sich Hindernisse für die Existenz bestimmter Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, wie etwa komplexe oder symplektische Strukturen, systematisch untersuchen. Die Theorie liefert auch Werkzeuge zur Berechnung von Signaturinvarianten, wie der Hirzebruch-Leray-Signatur, die für die Klassifikation von vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten von zentraler Bedeutung sind.

Die Bordismustheorie findet zudem Anwendung in der mathematischen Physik, insbesondere in der Stringtheorie, wo sie zur Beschreibung von topologischen Phasenübergängen und der Klassifikation von Lösungen der Stringgleichungen genutzt wird. Durch die Verbindung mit der K-Theorie ermöglicht sie eine algebraische Beschreibung von Phänomenen, die sonst nur schwer zugänglich wären.

Die Theorie basiert auf der Idee, dass topologische Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten durch ihre Kobordismusklassen vollständig beschrieben werden können. Dies führt zu einer tiefen Verbindung zwischen Geometrie, Topologie und Algebra und hat zahlreiche Verallgemeinerungen und Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik hervorgebracht.