Stringgleichungen

Stringgleichungen, auch als Stringgleichungen oder Stringgleichungen bezeichnet, sind mathematische Gleichungen, die in der theoretischen Physik und insbesondere in der Stringtheorie eine zentrale Rolle spielen. Diese Gleichungen beschreiben die Dynamik von Strings, also eindimensionalen Objekten, die als fundamentale Bausteine des Universums in der Stringtheorie betrachtet werden.

Die grundlegende Stringgleichung ist die Wellengleichung für eine offene oder geschlossene Saite. Für eine geschlossene Saite, die sich in einer Raumzeit mit der Metrik \( g_{\mu\nu} \) bewegt, lautet die klassische Bewegungsgleichung in der Nambu-Goto-Formulierung:

\[

\frac{\partial}{\partial \xi^a} \left( \sqrt{-h} \, h^{ab} \frac{\partial X^\mu}{\partial \xi^b} \right) = 0,

\]

wobei \( X^\mu(\xi^a) \) die Koordinaten des Strings als Funktion der Parameter \( \xi^a \) (meistens \( \xi^0 = \tau \) für die Zeit und \( \xi^1 = \sigma \) für die Raumkoordinate entlang des Strings) beschreibt und \( h_{ab} = \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu \) der induzierte Metrik-Tensor ist. Diese Gleichung folgt aus der Forderung nach minimaler Energie des Strings.

In der Polyakov-Formulierung wird die Stringbewegung durch eine Wirkung beschrieben, die eine Kombination aus der Nambu-Goto-Wirkung und einer konformen Abweichung ist. Die zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung ergibt sich zu:

\[

\left( -\frac{1}{\sqrt{-h}} \partial_a \left( \sqrt{-h} h^{ab} \right) + \xi^{ab} \right) \partial_b X^\mu + \frac{1}{2} \partial^\mu V = 0,

\]

wobei \( \xi^{ab} \) die konforme Abweichung und \( V \) ein Potential (z. B. für die Wechselwirkung mit Feldern) darstellt. Diese Formulierung ist besonders nützlich, da sie die Konformal-Invarianz der Stringtheorie explizit macht.

In der Quantentheorie der Strings werden diese Gleichungen durch die Quantisierung der Stringkoordinaten \( X^\mu \) gelöst, was zu einer diskreten Spektrenstruktur führt. Die Stringgleichungen spielen eine entscheidende Rolle bei der Beschreibung von Gravitation und anderen fundamentalen Wechselwirkungen in der Stringtheorie.