Bogenabschnitte

Bogenabschnitte bezeichnet man in der Geometrie als Teilstücke einer Kurve, die durch zwei Endpunkte festgelegt sind. Formal ist ein Bogenabschnitt die Bildmenge einer stetigen injektiven Abbildung γ: [a,b] → R^n, wobei die Punkte γ(a) und γ(b) die Endpunkte des Abschnitts bilden. In dieser Bedeutung kann ein Bogenabschnitt jede Art von Kurve umfassen, von geraden Linien bis zu stärker gekrümmten Bahnen. Der Begriff betont die zusammenhängende, durch einen Bogen zwischen den Endpunkten gebildete Teilmenge.

Im speziellen Fall eines Kreises bezeichnet ein Bogenabschnitt den Teil des Kreises, der zwischen zwei Endpunkten verläuft. Ist der zentrale Winkel θ zwischen den Endpunkten (in Bogenmaß) gegeben, beträgt die Bogenlänge L = R θ, wobei R der Radius des Kreises ist. Die zugehörige Sehne hat Länge c = 2R sin(θ/2). Bei θ > π spricht man vom großen Bogen. Die Fläche eines angrenzenden Kreissegments (Bogen plus Sehne) ergibt A = (R^2/2)(θ − sin θ).

In der weiteren Geometrie und Analysis dient der Begriff der Bogenabschnitte auch zur Beschreibung von Kurvenabschnitten allgemein: Die Länge eines Bogenabschnitts ergibt sich aus dem Integralfaktor der Geschwindigkeit entlang der Kurve, unabhängig von der gewählten Parametrisierung. Bei polygonalen Kurven entsprechen Bogenabschnitte einfachen Segmenten zwischen zwei Eckpunkten, während bei glatten Kurven die eigentliche Bogenform sichtbar bleibt.