Basiszustände

Basiszustände bezeichnet man in der Quantenmechanik als Elemente einer orthonormalen Basis des Hilbertraums eines Systems. Sie bilden eine vollständige Menge, durch die sich jeder Zustand als Linearkombination darstellen lässt.

Formal gehört ein Basiszustand |i⟩ zu einem Basisvektorensystem mit ⟨i|j⟩ = δij. Die Vollständigkeit gilt in der diskreten Form durch ∑i |i⟩⟨i| = I (bzw. bei stetigen Spektren durch ∫ |x⟩⟨x| dx = I). Jedes Zustandsvektor |ψ⟩ lässt sich schreiben als |ψ⟩ = ∑i ci|i⟩ mit den Koeffizienten ci = ⟨i|ψ⟩. Die Normierung von |ψ⟩ erfordert ∑i |ci|² = 1; bei stetigen Indizes entspricht ∫ |⟨x|ψ⟩|² dx der Wahrscheinlichkeit.

Beispiele liefern häufige Basiszustände: der Rechenbasis in der Quanteninformation mit {|0⟩, |1⟩}, die Eigenbasis des Ordnungsoperators (z-Komponente) eines Spins, die Ortsbasis {|x⟩} oder die Energiebasis der Quantenharmonischen Oszillators |n⟩.

Messung und Transformation: Wird ein Observablenoperator mit den Eigenzuständen der Basis gemessen, erscheinen die Resultate entsprechend der Born-Regel mit Wahrscheinlichkeiten p(i) = |⟨i|ψ⟩|². Nach der Messung kollabiert der Zustand auf den gemessenen Basiszustand |i⟩. Bei einer Basiswechsel folgt die neue Darstellung durch eine unitäre Transformation; die Koeffizienten verändern sich entsprechend.

Kontinuierliche Spektren verwenden δ-Normalisierung und Integrale statt Summen, und Zustände können bezüglich Dichtematrix ρ beschrieben werden. Basiszustände sind damit zentrale Bausteine der Quantenmechanik, deren Wahl von der Aufgabe abhängt.