Ortsbasis

Ortsbasis, auch Nachbarschaftsbasis genannt, ist ein Begriff der Topologie. Für einen Punkt x in einer topologischen Raum X ist eine Ortsbasis B eine Familie von offenen Nachbarschaften von x, so dass jeder Nachbar U von x mindestens ein Element B in B enthält, das x gehört und in U enthalten ist. Mit anderen Worten: B ist eine Basis des Nachbarschaftssystems von x. Eine Ortsbasis wird auch als lokales Basissystem am Punkt x bezeichnet.

Eine Ortsbasis besitzt die Eigenschaft, dass sie das Filter-Nachbarschaftensystem von x erzeugt: Sie ist nach Umkehrung der Inklusion abzählbar oder beliebig, aber koordinierend so, dass für alle B1,B2 in B ein B3 in B existiert mit x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2. Ist diese Eigenschaft erfüllt, dann ist B eine Ortsbasis am x. In erster Zählbarkeit oder metrischen Räumen kann eine Ortsbasis oft so gewählt werden, dass sie abzählbar ist.

Beispiele: In den reellen Zahlen R mit der üblichen Topologie bildet die Familie der offenen Intervallen (x − 1/n, x + 1/n) für n ∈ N eine Ortsbasis am x. Im diskreten Topologie-Raum ist {x} eine Ortsbasis am x. In einem metrischen Raum liefert oft die Familie der offenen Kugeln B_r(x) mit r > 0 eine lokale Basis; mit rationalen Radien erhält man häufig eine abzählbare Ortsbasis.

Zusammenhang: In erster Zählbarkeit lässt sich Konvergenz eines Punktes durch die Ortsbasis prüfen: Eine Sequenz x_n konvergiert gegen x genau dann, wenn es für jedes B in der Ortsbasis von x eine N gibt, so dass x_n ∈ B für alle n ≥ N. Ortsbasen dienen so der Charakterisierung von Stetigkeit und Konvergenz in topologischen Räumen.