Basisverschillen

Basisverschillen is de studie van de verschillen tussen basissen van een vectorruimte. In de lineaire algebra is een basis B = {b1, ..., bn} een verzameling vectoren die de ruimte V spant en waarin de vectoren lineair onafhankelijk zijn. Een andere basis C = {c1, ..., cn} levert een andere representatie van dezelfde vectorruimte. Het idee is hoe een vector zich uitdrukt in de verschillende basissen en hoe de coördinaten veranderen bij wisselen van basis.

De wissel van basis wordt beschreven door de change-of-basis matrix. Als C uit kolommen [c1]_B, ..., [cn]_B bestaat, dan geldt c_j = sum_i P_{ij} b_i. De matrix P met kolommen [c1]_B, ..., [cn]_B heet de change-of-basis matrix van B naar C. Voor een vector v geldt [v]_C = P^{-1} [v]_B. Omdat P invertibel is, blijven de relaties tussen coördinaten consistent; de geometrische vector blijft hetzelfde.

Eigenschappen: de dimensie van V en de spanned ruimte blijven ongewijzigd; het veranderen van basis verandert de coördinaten, maar niet de vector zelf. Het determinant van P is niet nul en geeft informatie over oriëntatie en de verhouding van volumes tussen de twee basissen.

Voorbeelden en verwante concepten: in R^n kan men kiezen voor het standaardbasis of voor een orthonormale basis. Orthogonale en normerende keuzes maken berekeningen vaak eenvoudiger: lengtes en hoeken komen direct uit de coördinaten. Gram-Schmidt levert een orthonormale basis uit een willekeurige basis. Het begrip is fundamenteel in toepassingen zoals computergraphics, mechanica en de diagonalisatie van matrices.