Afgeleideoperator

Afgeleideoperator, meestal aangeduid met D of d/dx, is een lineaire operator die een differentieerbare functie f toewijst aan de afgeleide f'(x). Het dient als de operator die de lokale verandering van f meet en vormt een fundamentele bouwsteen van calculus en analyse.

Domein en codomein: doorgaans wordt D gedefinieerd op het interval I voor functies die differentiabel zijn, bijvoorbeeld als D: C^1(I) → C(I). Hogere afgeleiden worden verkregen door opeenvolgend toepassing van D, zodat D^n f = f^(n). In functionele analyse kan D ook als onbegrensde operator op ruimten zoals L^2 met een gepast domein worden gezien.

Belangrijke eigenschappen: lineariteit: D(af + bg) = a Df + b Dg. Regel van product: D(fg) = f' g + f g'. Kettingregel: D(f ∘ g) = (f' ∘ g) · g'. Deze regels leveren de basis voor berekeningen met afgeleiden.

Voorbeelden: als f(x) = x^2, dan Df = 2x. als f(x) = e^{ax}, dan Df = a e^{ax}. Eigenschappen: e^{λx} is een eigenvector van D met eigenwaarde λ, aangezien D e^{λx} = λ e^{λx}.

Toepassingen: het afgeleide operator is cruciaal bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen, bij het modelleren van snelheid en verandering in natuur en techniek, en in signaalverwerking waar differentiatie samenhangt met frequentie-inhoud via de Fourier-transformatie. In meer gevorderde contexten verschijnt het ook in verdelingen en Sobolev-ruimten.